二次方程式
たしかこれと確率と図形で中学校の数学は終わりのはず。
すっげぇ曖昧なんで欠けてる部分があったら指摘してください。
で、二次方程式です。
因数分解だのこの前の平方根だのはこれの前提です。
とりあえずそっちを先にマスターしてください。
で、二次方程式はどういうものか。
まずは例を見てみましょう。
例)
x2−2x＋1＝0
この式で x の値はいくつでしょうか。
まずは因数分解します。
x2−2x＋1＝0
(x−1)2＝0
左辺が0になればいいので、x＝1ですね。
もひとつ例を。
例)
x2−3x＋2＝0
因数分解して、
(x−2)(x−1)＝0
これで、(x−2)＝0または(x−1)＝0であれば、左辺は0になります。
なので二つの方程式を解いて、x＝2とx＝1が答え。
このように因数分解が出来れば、一次方程式を二つ解けば終了です。
では次の例。
x2＝1
これはどうでしょう。
これは前回やった平方根を使います。
例によってルートは絵で書くのが面倒なので√(a)と表します。
x2＝1なので、両辺の平方根を取ります。
x＝±√(1)＝±1
因数分解を使ってもかまいません。
x2＝1
x2−1＝0
(x−1)(x＋1)＝0
x＝1またはx＝−1
じゃあ、もっと難しいのを考えましょう。
x2＋4x＋1＝0
因数分解できません。
また、二乗の式でもないので平方根取れません。
こういうときは、無理やり二乗の式を作ります。
x2＋4x＋4−3＝0
(x＋2)2−3＝0
(x＋2)2＝3
これで上の例と同じになりました。
後は同じで、平方根を取ります。
x＋2＝±√(3)
ここまできたら楽勝ですね。
x＝−2±√(3)
このように(x＋a)2という形を作ってしまうことを平方完成といいます。
この a の値は 2a が x の係数になるように決めます。
この場合、x の係数は4なので、a＝2となるわけです。
でも、この平方完成は面倒くさいですね。
で、これをもーすこし簡単にします。
ax2＋bx＋c＝0
これで二次方程式のすべてが表せます。
ただし、a、b、cはそれぞれ任意の数です。a＝0な無しね。
で、両辺を a で割ります。
x2＋bx/a＋c/a＝0
これを無理やり平方完成します。
面倒なんですが、わかりにくいのでちゃんと書きます。
平方完成して答えを求めるところまで。
というわけでこんなんでました。
つまり、二次方程式はすべてこの式で求めることが出来ます。
たとえば、さっき上で解いた
x2＋4x＋1＝0
これは、a＝1、b＝4、c＝1です。
代入して、
x＝{−4±√(42−4)}/2
x＝{−4±√(12)}/2
x＝{−4±2√(3)}/2
x＝−2±√(3)
というわけで平方完成よりは楽でしょう。
因数分解できる問題も解けます。
x2−2x−3＝0
(x−3)(x＋1)＝0
x＝3またはx＝−1
これを公式を使うと、
a＝1、b＝−2、c＝−3です。
よって
x＝{2±√(4＋12)}/2
＝{2±4}/2
＝1±2
よって、x＝3、x＝-1が答え。
でも、因数分解のほうが簡単ですね。
なので因数分解が出来ないときだけ公式使いましょう。
この面倒くさい公式は、さらに少しだけ簡単にできます。
ax2＋2b'x＋c＝0
これは、bのところの数字が偶数のときだけ使えるヤツです。
ほんーの少しだけ簡単になります。
無理して覚える必要はありません。
というわけで、二次方程式まとめ。
1)因数分解できるものは因数分解で。
2)最初の式のまま平方根を取れるものは平方根で。
3)最後の手段は公式。
解の公式1(一般はこちら)
解の公式2(bが偶数)
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