平方根と指数
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因数分解やったところで二次方程式やろうと思ったんですが、平方根やってなかったですね。
というわけで平方根、二乗すると中の数になるヤツですね。
これを二乗すると2になります。
ただし、平方根は正負の両方があります。
-2を二乗しても2ですよね。
で、ルートは正の平方根なのです。
なので、2の平方根は±となります。
以後面倒なのでを√(2)と書きます。
じゃあ、4の平方根はどうでしょう。
二乗して4になる数だから、±2ですね。
では、8の正の平方根は。
√(8)なんですが、これは√(4)×√(2)ですね。
√(4)＝2なので、2×√(2)となります。
今度は分数。
1/2の正の平方根は。
√(1/2)ですが、これは√(1)/√(2)とできます。
√(1)は1なので、1/√(2)なんですが、分母にルートを残してはいけません。
なので、約分と同じ要領で分子分母両方に√(2)を掛けます。
√(2)/{√(2)×√(2)}ですね。
すると分母が2になるので、結局√(2)/2となります。
この分母からルートを取り除く作業を有理化といいます。
では、二乗して負の数になる数はどうするのでしょうか。
んなもんあるわけないといっちゃいけません。
たしかに負の数×負の数は正の数ですが、なきゃ作ればいいんです。
というわけで作られたのがi。
i2＝−1です。
または、√(-1)＝iと覚えてもいいでしょう。
−4のルートは√(-4)＝√(-1)×√(4)＝2i。
このiもやっぱり分母に残してはいけません。
1/iは分子分母にiを掛けて、i/-1＝−iです。
さて、またiは忘れて指数というものを考えて見ましょう。
abでいうbが指数です。
ab×ac＝ab＋c
掛け算だと指数は足し算になります。
ab÷ac＝ab−c
割り算は引き算に。
(ab)c＝abc
この場合はabをc回掛けることなので、結局掛け算でbcとなります。
例を出すと、
23×22＝25
23÷22＝2
(23)3＝29
さて、ここでルートに戻ってみます。
√(a)×√(a)＝a
ここで√(a)＝axとすると、
ax×ax＝a
よってxは1/2ですね。
というわけで、ルートは1/2乗であることがわかります。
やっぱり上の例と同じように計算が出来ます。
√(2)×22＝25/2
で、これを分解すると、
25/2＝(21/2)5
√(2)5と同じですね。
割り算も出来ます。
2÷√(2)＝21-1/2＝21/2
じゃあ、指数がマイナスになったらどうなるか。
そうなると分子分母がひっくり返ります。
(2/3)-1＝3/2
簡単ですね。
1÷√(2)＝2-1/2＝1/21/2
長くなってもおんなじです。
25÷22×23/2÷21/2＝25-2+3/2-1/2＝25
まあ、長くなりましたが、とりあえず二乗したらもとの数になるのが平方根で、正の平方根がルートだと覚えておいてください。
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