中学校の数学で最も重要な範囲の一つ、因数分解。
ここで脱落する人も少なくないです。
で、高校の物理と数学は因数分解が出来ないとどうにもならないのが多いので、脱落すると文系行きコースほぼ確定。
因数分解とは何なのか。
簡単に言うと、式の展開の逆です。
式の展開は掛け算の式を足し算の式に、因数分解は足し算の式を掛け算に。
例)
上の段が因数分解、下の段が式の展開です。
因数分解にはいくつかのタイプがあります。
なので、簡単なほうから見て行きましょう。
1:全部が a の倍数。
1段目は a の倍数、二段目は2の倍数、3段目は x の倍数です。
これは見ればわかるので簡単ですね。
2:a2x2+2abxy+b2y2のかたち。
ちょっと複雑ですが、2乗の形になってるときは多少簡単になります。
とりあえず、20の2乗くらいまでは覚えてください。
このくらい覚えておくと、2乗の形に気付きやすいです。
3：a2x2-b2y2の形。
上よりちょっと簡単。
でもやっぱり二乗−二乗に気付かないとダメ。
4：その他。
上のどの例にも当てはまらないごく普通の形。
ぶっちゃけ勘に頼ります。
が、ある程度の基本を抑えると答えが見えてきます。
あとは慣れるしかありません。
解き方もいくつかありますが、代表的なのを。
4-1:普通に解く
まさに勘。
適当に組み合わせて展開してみる。
展開してみたときに、もとの式と違う場合は間違ってるのでやり直し。
4-2：たすき掛け
紙で説明するのは簡単なのですが、webだと面倒。
これも基本は勘。
いや、斜線引くのが面倒なだけです。
紙と鉛筆なら簡単です。
まず、x2の係数 3は、1×3です。
で、8は1×8、2×4のどちらかですね。
左にx2の係数の因数である1と3を、右に第3項の因数である1と8、もしくは2と4を書きます。
で、斜めに線を引いて（先に線引いといてもいいです）、左上と右下、左下と右下を掛けて足します。
右下のが14になってますが、この値が x の係数14と等しいので、これが正解の組み合わせ。
この組み合わせを横に読み x+4と3x+2 の掛け算とすることができます。
この図では全部の可能性を書きましたが、勘に頼っていくつか可能性を減らしてもいいです。
4-3：因数定理
本来は高校で習います。
が、知ってて損はありません。
まず、元の式が0になるxを探します。
これは勘。
一応条件としては、分母がx2の係数の因数で、この場合1か3。
分子が数字項の因数で1か2か4か8。
そして符号が＋と−。
この中から適当に探します。
で、x＝a の時に元の式が0になったとすると、元の式は(x−a)で割れることになります。
割り方は筆算でちまちまと。
これはあんまり楽じゃないので、x3-7x-6 等のように3次式以上で使います。
中学じゃ使わないですけどね。
この場合、x＝-1で0になります。
あとはやりこめば答えが見えるようになります。
結局経験と勘ですが。
ところで実際の問題では、もすこし複雑なのも出てきます。
基本は変わらないのですが、項が増えます。
たとえば、
x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx
こんなのが出てきます。
2の形を用いてxとyの部分を因数分解すると、
(x+y)2+2xz+2yz+z2
2xz+2yzは2zで因数分解できます。
(x+y)2+2(x+y)z+z2
これが2の形になってることに気付きますか？
x+yをAと置いてみましょう。
A2+2Az+z2
というわけで、因数分解できます。
(A+z)2
ここで、Aを元のx+yにもどします。
(x+y+z)2
この辺は慣れてください。
100題も解けば結構つかめます。
経験上、因数分解を『パズルのようで面白い』と感じる人は数学が得意になっていくと思います。
因数分解で詰まると数学がダメって言うようになりますね。
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