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さて、ファイル名と番号が段々一致しなくなってきました。
11回目なのに013とは何故に。
まあ、謎でも何でもなく雑文書いた順に名前付けてるだけなんですが。
今回から関数の具体例を見てみましょう。
まずは比例。
これはある数が n 倍に増えたとき、もう一方の数も n 倍に増える関数です。
たとえば、バネの伸び。
1gの錘をつるすと、2cm伸びるバネがあったとします。
このとき、バネの伸びと重さの関係は
| 錘(g) |
伸び(cm) |
| 0 |
0 |
| 1 |
2 |
| 2 |
4 |
| 3 |
6 |
こんな感じになりますね。
で、これを式で表すと、
伸びを y(cm)、錘の重さを m(g)とすると
y ＝2m
と表せます。
さらに錘が整数値じゃない時の事も考えて、横軸に重さ、縦軸に伸びをとってグラフを書いてみましょう。
こんな感じになります。
こういう風に横軸に当たる数が二倍になると、縦軸に入ってる数も二倍になる、それが比例。
じゃあ、次の例を考えて見ましょう。
錘がつるされてないときのバネの長さは10cmで、1gごとに2cm伸びます。
バネの長さを y(cm)、錘の重さを m(g)とすると
y ＝2m + 10
ですね。
やっぱりグラフを書いてみます。なお表は省略。自分で書け。
これはどうでしょう。
横が二倍になっても縦は倍になってません。
こういうのは一次関数といい、比例は一次関数の特殊な場合なのです。
具体的には、一次関数は直線で、原点(0,0)を通る直線が比例。
で、この直線は横軸が正の値じゃなくでもOKです。
たとえば一定の速さ50km/hで北の方向に走る車を考えてください。
で、この車が時刻 t(h)＝0 の時にa地点を通ったとします。
すると、a地点から北に離れたときの距離を x(km) とするなら、
x ＝50t
で表せますね。
ここまでは前の例とかわりゃしないんですが、この場合時刻tには負の値を入れることも出来ます。
たとえばt＝-1なら1時間前ということで、x ＝-50は、-50kmほどa地点から北、すなわち50km南にいると言うことです。
で、グラフがこれ。
これで比例や一次関数の意味するところがわかったでしょうか？
わかったところで、意味するところをすべて無視した計算問題の始まり始まり。
そうなんですよ、関数の意味するところなんかどーでもいいんですよ。
用は計算が出来りゃいいのです。
これが文部科学省思考。
まず、一次関数や比例のグラフは傾きや切片(通常はy切片)というものを用いて考えます。
ここからは横軸を x 、縦軸を y とします。
y は x の関数で、
y ＝ax ＋ b
で表現できます。
このとき、x が右に1ずれると y は上に a ずれますね。
このときの a を傾きといいます。
また、x ＝ 0 において、y ＝ b となりますね。
このときの b を y 切片（または単に、切片）といいます。
比例とは b ＝ 0 の一次関数なのです。
例)
y＝3x ＋ 5
という式があります。
このとき傾きが3、切片が5です。
一次関数の分野で出される問題はグラフの式を求める問題と交点を求める問題の二種。
まずは式を求める問題から。
これもまた二つに分かれて、『一点の座標と傾きが与えられている場合』『二点の座標が与えられている場合』です。
なお、座標と言うのはグラフ上の点の位置です。
(0,0)などといった表記をし、左が x の値、右が y の値です。
この場合は x ＝ 0、y ＝ 0 です。
では、まず例題を。
(1,2)を通り、傾きが3の直線の式を求めよ。
この手の問題は、わかるところを一次関数を示す式、
y ＝ax ＋ b
に叩き込みます。
傾き a ＝ 3 がまず入りますね。
で、x＝1、y＝2 を通るのでやっぱり叩き込みます。
2 ＝ 3 × 1 ＋ b
するとbの値は-1になりますね。
できないヤツは方程式の項を読み直せ。
で、これでめでたく a の値と b の値が決まりました。
この直線の式は
y ＝ 3x −1
となります。
このタイプの問題は全部これで解けます。
次、二点の座標がわかってる問題。
例)(1,3)(4,9)を通る直線の式
このタイプは二つの方法によって解くことが出来ます。
今回二つに分かれるのばっかり。
まず方法1。
y ＝ax ＋ b
に両方の座標を代入します。
(1,3)→ 3 ＝ a + b
(4,9)→ 9 ＝4a + b
この二つの式を連立させて、連立方程式として解きます。
細かい解法は連立方程式の項で。
a＝2、b＝1 となります。
なので直線の式は
y ＝2x ＋ 1
ですね。
そして方法2。
これは最初に傾きを求めるやり方。
(1,3)(4,9)を通るので、x が1から4に増える間に y は3から9に増えるわけです。
なので、x は4−1＝3増え、y は9−3＝6増えるわけですな。
そうすると x が1増える間に y はいくつ増えるか。
2ですよね。
なので傾きは2と決まります。
あとは傾きと一点の問題と同じで、使う座標は計算しやすいほうでかまいません。
二点の座標を(x,y)(x',y')とすると、傾き a は
a ＝ (y'− y) / (x'− x)
で表せます。
そして二つの直線の交点を求める問題。
これは連立方程式の項に書いたとおり、連立方程式を解くと出てきます。
たとえば
y ＝ x ＋ 1
と
y ＝ 2x − 2
の交点は、二式の連立方程式を解いて
(3,4)で交わりますね。
これだけ解けりゃ十分です。
というわけで要約すると連立方程式が解けないとなにもできないということになります。
この辺で詰まる人は計算練習を。
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