第6回は立体図形。
四角錐はなぜ1/3なのか。
昔疑問に思いませんでした？
わたしの使ってた小学校の教科書には、『四角柱と同じ底面・高さの四角錐の容器を用意し、四角錐で水を四角柱に注ぐと3杯になる。』なんて、詐欺まがいの説明が。
よく考えなくてもこの説明、1/3になる理由が全く書いてないやん。
というわけでちょいと考えて見ましょう。
四角柱ABCD-EFGHですね。
四角形ADGFで切ります
切りました。
で、元の図形で四角形CDEFでも切るんです。
重ねるとこんな感じ。
で、切るとこーなりますね。
さらに、四角形DBFHでも切るんです。
これはまっすぐ下に切るからわかりやすいですね。
で、この三つの図形、D-HFGとD-EFHとD-AEFですが、体積一緒です。
D-HFGとD−EFHは、共に底面積がEFGHの半分で高さがDHですな。
D-EFHとD-AEFは底面積がADEHの半分で高さがEFです。
わからなきゃ消しゴム切ってみましょう＜それこそ3杯分の説明と同じだけど
で、この三つの体積が等しいならD-EFGHの体積は
この立体の体積の2/3ですよね。
これはもとの立体の半分だから、結局1/2*2/3＝1/3です。
どうでしょう？納得できましたか？
これが納得できないなら積分すりゃ出てくるんです以上。
球の体積なんてのもあるんですが、省略。
結構色々考えられてるんです。
やっぱり積分すれば出てくるんですが。
はい、宿題出します。体積出してください。
一片の長さが2cmの立方体ABCD-EFGHがあります。
番号の振り方は最初の図と同じね。用意するのが面倒なわけではなく。面倒ですごめんなさい。
まず、△DBEで切ります。
次に△DBGで切ります。
まだわかりやすいですね。
ここからが難しい。
△ACFで切ります。
で△ACHでも切ります。
のこされた立体の体積を求めてください。
消しゴム切ればわかるかも。
つーか、切り終わったあとの立体が想像できれば解けます。
ヒント1/ヒント2
最後の二つだけで1時間かかりましたがな。だから面倒だと
以下参考：
底辺a,b、高さ1の四角錐があります。
でxの地点での赤い四角の面積はax * bx = ab(x^2)
積分してab(x^3) / 3、xは0〜1の範囲なのでab/3。
はい、1/3になりました。
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